やること
書くの面倒なので問題の条件使う時はC<a+b なるペアを選んでいるとする
まずa=1 とすることで f(b) <= bf(1) を得る
また、右辺に (a+f(b))(f(b)-a) を足すと a+f(b) | bf(a)+f(b)2 を得る
ある素数p が存在して、p|b,p!|f(b) を仮定するとp|a なるa を取ることで矛盾するため、p|b なら p|f(b)
1 と 素因数分解した際に全ての素数の次数が1 である自然数を良い数と呼ぶ
p|b ならp|f(b) より、任意の良い数x について、x|f(x) である
a,b に良い数を取った時、f(a)=sa , f(b)=tb だったとする
特に、f(b) <= bf(1) よりs,t<=f(1) である
元の条件の右辺に -a(a+f(b)) を足すことで a+tb | (ab*|s-t|) となる
b を固定したとき、gcd(a,tb) = 1 となるような良いa は無限に取れることから、十分大きい無数の良いa に対して a+tb | (|s-t|) < f(1) (∵s,t<=f(1)) であり、s=t が必要であるので、任意の良い数x について f(x) = xf(1) と書ける、この先、k=f(1) と置く
a を任意の自然数として固定し、b を良い数の範囲で動かすことを考える
この時、a+bk | bf(a)-abk となり、gcd(a,b)=1 となる良いb は無限に取れ、十分多くのb についてa+bk | f(a)-ak となり、a を固定したとき右辺は定数なので、f(a)=ak が必要である
十分性は明らかなので、f(n)=kn(k は任意の自然数) が解
考察
初手の右辺の足し引きの工夫には時間を使うべき
解の予想からx|f(n) を示したかったが難しかったので欲張らずにp|n なら p|f(n) を示して、良い数についてはうまくいったので後は都合のいい数が思ったよりとれた
