やること
任意の f : X → {1,2...n} に対して x∈X[i] f(x) の合計が最大のi 取って ∀x∈X[i] について f(x) をインクリメントすると一対一対応
考察
条件を満たさない状態からちょっと足し引きするだけで条件を満たすようになるので対応付けしたくなって、できた
ISL2024A5
やること
a[n+2]+a[n+1] = (a[n+1]+a[n])(a[n+1]-a[n]+1) に変形出来て、(a[n+1]-a[n]+1) の部分の積が1 になってるはず
この積をAM-GMで上から評価するとなんと≤1 となって等号成立！
考察
最初の変形はまぁしたくなるはず
AM-GMは(a[n+1]-a[n]+1) を足すと打ち消すことに注目できればやりたくなるかも...?
ISL2023G3
やること
AM//PC,BM//PD となるようにP' をとる
円周角と角度追跡で二つの条件を満たすことがわかる
S=BMAD,T=AM
BC とするとA,B,S,T は共円、ST//CD
そうすると△STM と△DCP' はQ(=ADBC) を中心として相似なのでQ,M,P' は共線
というわけでQ,M,P が共線となるようなP の存在が示せた
そして∠CPD=∠ADB を満たすにはある円上をP が動くわけだがC からD の方へ動かすと∠BCP は単調増加、∠ADP は単調減少なのでP は一つしか存在しなく、上で存在を示したP しか考えられなく、題意は示された
考察
図を描くの難しいが頑張って書くと平行が見えてあとは簡単な角度追跡と矢印の向きをミスらないように
ISL2023G2
やること
円周角からDA=DP
△ABC の外心O をとってCB=CP と条件とO が外心なことから角度追跡で∠QPC=∠OBC が言えて △QPC ≡ △OBC で同様にしてC,P,D がQ を中心とした円上にある
あとは∠ACB=∠AEBが示せれば良くて、これはAB それぞれからの垂線の足とE,Q が共円なことから角度追跡で言える
考察
O とか PQ=r がとにかく鬱陶しいので相似 or 合同を探したらあった
ISL2023G1
やること
△ACDの中点を結んでそれぞれAB,AEと平行になることから∠BAD,∠CAE=90° とわかる
BCとDEを延長したくなって相似が見つかって都合のいいところにMが来て同一法->角度の条件に言い換えて角度追跡
考察
平行が見えるところまではOK
中点ならではの性質考えたが普通に相似も考えなきゃいけなかった...
ISL2020C6
やること
それぞれのグループを頂点としたn 頂点のグラフを考える
i と 4n+1-i を含むグループの間に辺を張る
全頂点が含まれるようにいくつかの頂点に分解出来たら勝ち
自己ループのありなし、あった場合はその頂点をうまいこと消して帰納法
考察
対になるペアを作ってみるのは大事
とりあえずグラフにはしてみる
JMO2022本選4
やること
y が偶数だとmod 4 でx も偶数がわかって二乗の差で指数で右辺を下から抑えて嬉しい
y が奇数だとmod 3 で3|2xy
3|x だと3乗の差で下から指数で抑えられてこれも嬉しい
なので3|y の時を考えるといいが mod 3k を考えるとy が3 で無限回割れることがいえてカス
考察
指数で下から抑えたくなる
-> 左辺からして二乗の差が嬉しいよね
3|y のパート詰まったけど mod 3 の後は一応 mod 9 も考えるべきだったので反省
